Знаки констант анизотропии K1 и K2 и их относительная величина определяют то кристаллографическое направление, которое в данном кристалле будет «легким».

Если К1>0, то первый член в (9) минимален при направлении намагниченности вдоль осей [100], [010], [001], которые в этом случае являются осями легкого намагничивания. Если К1<0, то осями легкого намагничивания являются оси[111], [I11], [1I1], [11I], так как первый член в энергии анизотропии (9) минимален, когда намагниченность расположена вдоль этих осей.

Если учитывать и второй член в (9), то направление диагональной оси [100] в тех случаях, когда К1 отрицательна и меньше по абсолютной величине, чем К2, также может быть направлением легкого намагничивания.

В заключение отметим, что в ряде случаев удобнее fa раскладывать в ряд по сферическим функциям Yml(J ,j) где J - полярный угол, j -азимут вектора намагниченности по отношению к выбранной оси симметрии. Тогда

fa=SScmlUml(J,j) , (11)

где cml - параметры, аналогичные константам анизотропии . Разложение (11) справедливо для кристаллов любой симметрии (тип симметрии определяют величины cml, т. е. какие из этих коэффициентов обращаются в нуль).

2) fупр.(ei j ) = ½ [C11(e2xx+ e2yy+ e2zz)] +½ [C44(e2xy+ e2yz+ e2xz)]+

+ C12(exxeyy+ eyyezz+ exxezz ) (12)

3) fму.(ai ,ei j ) = B1[(a21 – 1/3)exx+(a22 – 1/3)eyy+(a23 – 1/3)ezz]+

B2[a1a2exy+a2a3 eyz+a1a3exz] , (13)

где, ai – направляющие косинусы вектора спонтанной намагниченности, ei j- компоненты тензора деформации кристалла, В1 , В2 – константы магнитоупругой энергии, С11 , С44 , С14 – модули упругости.

Устойчивому равновесному состоянию деформированного кристалла с определенным направлением намагниченности (ai = const) соответствует минимум свободной энергии. Чтобы определить компоненты тензора деформации при отсутствии внешних напряжений, характеризующие спонтанную магнитострикционную деформацию или спонтанную магнитострикцию, следует найти компоненты e(0)i j , соответствующие минимуму f.

Минимизируя выражения для плотности энергии f относительно e i j, получим

∂f/∂exx= B1(a21 – 1/3)+C11e(0)xx + C12(e(0)yy+e(0)zz)=0 ,

∂f/∂eyy= B1(a22 – 1/3)+C11e(0)yy + C12(e(0)zz+e(0)xx)=0 , (14)

∂f/∂ezz= B1(a23 – 1/3)+C11e(0)zz+ C12(e(0)xx+e(0)yy)=0 ,

∂f/∂ezy= B2a1a2+ C44e(0)xy=0,

∂f/∂eyz= B2a2a3+ C44e(0)yz=0, (15)

∂f/∂exz= B2a1a3+ C44e(0)xz=0,

Складывая три уравнения (14), найдем: (∆V/V)0= e(0)xx+ e(0)yy+ e(0)zz ,

т.е. в этом приближении изменение объема кристалла (∆V/V)0 при спонтанной магнитострикционной деформации равно нулю. Из (14) и (15) получим компоненты тензора этой деформации

e(0)i i = -[B1/(C11-C12)] [a2i – 1/3], e(0)i j = -(B2/C44)aiaj ; i , j = x, y, z.